Kinematyka punktu materialnego, ASTRONOMIA, Podstawy astronomii

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
R o z d z i a ł 2
KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO
Kinematyka zajmuje się opisem ruchu ciał bez uwzględniania ich masy i bez
rozpatrywania przyczyn, które ten ruch spowodowały.
Przez punkt materialny rozumiemy punkt geometryczny, w którym skupiona jest
pewna masa.
2.1.
Ruch bezwzględny i względny. Układ odniesienia. Układ współrzędnych.
Co to jest ruch? Punkt materialny jest w ruchu jeżeli stwierdzimy, że zmienia się jego
odległość względem innego ciała. Ruch jako pojęcie absolutne nie ma sensu. Zawsze
rozpatrujemy ruch względem jakiegoś innego ciała (układu). Układ, względem którego
rozpatrujemy ruch będziemy nazywali układem odniesienia. Układem odniesienia może być
pociąg, Ziemia, Układ Słoneczny, Galaktyka. Położenie punktu w przestrzeni określamy za
pomocą współrzędnych, przy czym liczba współrzędnych potrzebna do opisania położenia
punktu jest równa liczbie wymiarów przestrzeni. Dla opisania położenia punktu materialnego,
najczęściej w fizyce, stosujemy następujące układy współrzędnych:
23
1
o
Kartezjański układ współrzędnych {x,y,z}
Rys.2.1. Kartezjański układ współrzędnych
W przestrzeni trójwymiarowej oprócz współrzędnych kartezjańskich {x,y,z} stosuje się także
współrzędne sferyczne {r, ϑ,ϕ}.
2
o
Układ współrzędnych sferycznych
Rys.2.2. Układ współrzędnych sferycznych
Przejście od układu sferycznego do układu kartezjańskiego opisują wzory (2.1)
x
=
r
sin
ϑ
cos
ϕ
y
=
r
sin
ϑ
sin
ϕ
(2.1)
z
=
r
cos
ϑ
Transformacja odwrotna (2.2) opisuje przejście z układu kartezjańskiego do układu
sferycznego
24
r
=
x
2
+
y
2
+
z
2
x
2
+
y
2
ϑ
=
arc
tg
(2.2)
z
ϕ
=
arc
tg
y
x
Trzecim często stosowanym układem współrzędnych jest układ cylindryczny {ρ,ϕ,z}.
3
o
Układ współrzędnych cylindrycznych
Rys.2.3. Układ współrzędnych cylindrycznych
Przejście z układu cylindrycznego do układu kartezjańskiego opisują wzory (2.3)
x
=
ρ
cos
ϕ
y
=
ρ
sin
ϕ
(2.3)
z
=
z
Transformacja odwrotna (2.4) opisuje przejścia z układu kartezjańskiego do układu
cylindrycznego
ρ
=
x
2
+
y
2
ϕ
=
arc
tg
y
(2.4)
x
z
=
z
Na płaszczyźnie oprócz współrzędnych kartezjańskich {x,y} bardzo często stosuje się
współrzędne biegunowe {r,ϕ).
25
4
o
Układ współrzędnych biegunowych
Rys.2.4. Układ współrzędnych biegunowych
Między współrzędnymi kartezjańskimi {x,y} i współrzędnymi biegunowymi zachodzą
związki (2.5)
x
=
r
cos
ϕ
,
r
=
x
2
+
y
2
(2.5)
y
=
r
sin
ϕ
,
ϕ
=
arc
tg
y
z
2.2. Ruch punktu materialnego
Chcąc opisać ruch punktu materialnego musimy wybrać układ odniesienia. Następnie
wybieramy najdogodniejszy dla opisu matematycznego danego problemu układ
współrzędnych.
Jeżeli potrafimy znaleźć P{x,y,z} i przypisać temu punktowi czas t, to możemy skonstruować
wektor wodzący
[ ]
r =
x
,
y
z
. Krzywa opisana w czasie przez koniec wektora r
G
nazywa się
trajektorią lub torem ruchu punktu P.
Rys.2.5. Trajektoria ruchu punktu P
26
G
Wektor
()
r
G
można napisać w postaci
t
r
( )
t
=
x
i
+
y
G
j
+
z
G
(2.6)
gdzie:
x
=
x
( )
()
()
t
y
=
y
t
(2.7)
z
=
z
t
wektory
i
,
j
,
k
są wersorami osi x, y i z w układzie kartezjańskim.
Tor punktu materialnego otrzymamy eliminując czas t z równań (2.7).
Ze względu na kształt toru ruchu punktu materialnego P wygodnie będzie nam
podzielić jego ruch na prostoliniowy i krzywoliniowy.
2.3. Ruch prostoliniowy. Prędkość ruchu.
Ruchem prostoliniowym nazywamy ruch ciała (punktu materialnego) po torze
będącym linią prostą. Rozważmy ruch ciała po prostej, którego położenie określa
współrzędna s (rys.2.6). Ruch rozważanego ciała opisuje zależność funkcyjna
s=s(t)
(2.8)
gdzie: t – czas.
Rys.2.6. Określenie prędkości chwilowej w ruchu prostoliniowym.
Prędkość średnia. Jeżeli w chwili t
1
ciało zajmuje położenie A (współrzędna s
1
), a w
chwili t
2
położenie B (współrzędna s
2
), to prędkość średnia ruchu jest definiowana wzorem
υ
=
s
2
−
s
1
=
∆
s
(2.9)
t
−
t
∆
t
2
1
Prędkość średnia
jest więc ilorazem różnicowym drogi i czasu.
Ze wzoru (2.9) można określić główną jednostkę prędkości; jest nią m/s. Oprócz różnych
jednostek wielokrotnych, jak np. km/s, mm/s, jest też dopuszczalna (często powszechnie
stosowana) jednostka km/h.
Prędkość chwilowa
. Prędkość średnia nie określa dokładnie ruchu ciała. Prawdziwy obraz
ruchu ciała, np. na odcinku AB leżącym wzdłuż osi Os (rys.2.6),otrzymamy, znajdując
prędkość chwilową w każdym punkcie tego odcinka. Obierzmy na tym odcinku jakiś punkt C
27
G
G
G
G
G
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
  • zanotowane.pl
  • doc.pisz.pl
  • pdf.pisz.pl
  • klobuckfatima.xlx.pl