Kinetyka układów wielociałowych, PŁ WM, Wykłady, Automatyka

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
//-->Kinetyka układów wielociałowych(metoda Newtona-Eulera; metoda Lagrange'a)Literatura:1. Bodo Heimann, Wilfried Gerth, Karl Popp (przekład Marek Gawrysiak).: Mechatronika. Komponenty, metody, przykłady.Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 2001.2. Henryk Achtelik, Józef Grzelak.: Ćwiczenia laboratoryjne z modelowania i symulacji układów mechanicznych w programieMATLAB-SIMULINK. Skrypt uczelniany, Politechnika Opolska, Opole, 2004.Kinetykato nauka o ruchu ciał posiadających masę, na które oddziałują siły i/lub momenty sił. Opisuje onapowiązanie wielkości kinematycznych z siłami i momentami sił. Często zamiast pojęcia kinetyki stosuje siępojęciedynamiki.Kinetyka jest bowiem częścią dynamiki. Dynamika (jako nauka o siłach) obejmuje równieżstatykę.Statykę można traktować jako szczególny przypadek układów znajdujących się w spoczynkuwzględem inercjalnego układu odniesienia.Rola znajomościmodelu dynamicznegoukładu:Symulacja zachowania ruchu (obliczenie i przedstawienie przebiegu ruchu - przebiegu zmian położenia,prędkości czy przyspieszenia - na podstawie znajomości wielkości sił działających na układ orazznajomości warunków początkowych lub brzegowych. Zadanie to określane jest jakodynamikabezpośrednia.Analiza struktur mechatronicznych (określenie dynamicznych wielkości obciążenia dla projektuprototypów). Przy znanym zachowaniu ruchu, znajomość modelu dynamicznego układu pozwala naprzynajmniej wstępne zaprojektowania napędu.Projekt sterowania i regulacji (typowe dla projektowania algorytmów sterowania lub regulacji sązadania planowania toru, czyli obliczanie koniecznych wielkości nastawczych dla zadanych krzywychtoru. Powyższe zadania może być przyporządkowane do dziedzinydynamiki odwrotnej.Metody wyznaczania modeli dynamicznych układów wielociałowych:metoda Newtona-Eulerametoda Lagrange'aRys. 1. Przykład układu wielociałowegoMetoda Newtona-EuleraPunktem wyjścia tej metody są obrazy ciał uwolnionych, które powstają poprzez dowolne odcięcia ciałczęściowych układu wielociałowego i wstawienie odpowiednich wielkości (sił i momentów sił) w miejscachprzecięcia. Następnie stosuje się zasadę ilości ruchu dla poszczególnych ciał i otrzymuje się odpowiedni układrównań do rozwiązania. W ostatnim etapie eliminuje się wielkości w miejscach przecięcia.Rys. 2. Obraz ciała uwolnionego dla ciałaiOddziaływanie wzajemne pomiędzy sąsiadującymi ciałami opisuje się za pomocą odpowiednich wielkości sił imomentów sił w miejscach przecięcia, mianowicie:Fi1,i,Mi1,ilubFi ,i1,Mi ,i1, gdzie:Fi1,i- oddziaływanie siłowe ciałai1na ciałoi,Mi1,i- oddziaływanie siłowe (momentu) ciałai1na ciałoi,Fi ,i1- oddziaływanie siłowe ciałaima ciałoi1,Mi,i1- oddziaływanie siłowe (momentu) ciałaima ciałoi1.Na prawym brzegu ciała naniesiono wielkości reakcjiFi,i1orazMi,i1.Stosując zasadę ilości ruchu (drugą zasadę dynamiki Newtona dla ruchu postępowego i obrotowego) dlaposzczególnych ciał (i�½1,2,...,N) a następnie eliminując wielkości w miejscach przecięcia, równania ruchuwyprowadzić można w dwóch etapach:Etap I:Zapisanie równań ruchu dla obrazów wszystkichNciał uwolnionych (druga zasada dynamikiNewtona dla ruchu postępowego i obrotowego).Etap II:Uwzględnienie zależności kinematycznych (macierze Jacobiego) i eliminacja wielkości wmiejscach przecięcia.W metodzie Newtona-Eulera cały układ (model dynamiczny) składany jest z układów (modeli dynamicznych)częściowych. Metoda ta ma zatem charakter metody syntetycznej.Metoda Lagrange'aPunktem wyjścia tej metody jest tzw. zasada ekstremalna, lub też wyprowadzone z niej tzw. równaniawariacyjne. W tej metodzie do wyprowadzenia równań ruchu (znalezienia modelu dynamicznego) stosuje siębilansy pracy lub energii. Będziemy tu wykorzystywać tzw.równania Lagrange'a II-go rodzaju.Równania Lagrange'a II-go rodzaju mają postaćd T T�½Q,dt q qgdzie:T- całkowita energia kinetyczna układu,q�½[q1,q2,...,qn]T- wektor współrzędnych uogólnionych,Q�½Q1,Q2,...,QnT- wektor sił uogólnionych.Inne, rozpowszechnione przedstawienie równań Lagrange'a II-go rodzaju otrzymuje się wówczas, gdy wukładzie występują siły zachowawczeQk, czyli siły, które wyprowadzić można z funkcji potencjalnejU.Wówczas dokonać można rozdzielenia wektora sił uogólnionychQ�½QkQn,gdzieU(q).qFunkcjaU(q)oznacza energię potencjalną układu, natomiastQnzawiera wszystkie udziały niezachowawcze.Wówczas równania Lagrange'a II-go rodzaju przedstawić można w postaciQk�½ d T TU q  q q�½Qn.dtPoszczególne etapy metody Lagrange'a:wybór współrzędnych uogólnionychq,obliczenie energii kinetycznejTi potencjalnejUukładu w funkcji współrzędnych uogólnionychqiprędkości uogólnionychq,wyznaczenie uogólnionych sił niezachowawczychQn,przeprowadzenie odpowiedniego różniczkowania po współrzędnych uogólnionychq, prędkościachuogólnionychqi czasiet.Dokonując poszczególnych etapów otrzymujemyNrównań ruchu stanowiących model dynamiczny układuwielociałowegod T TU�½Q1 dt q1 q1q1d T TU �½Q2 dt q2 q2q2...d T TU�½QN dt qN qNqN .Przykład 1:Za pomocą metody: a) Newtona-Eulera, b) Lagrange'a zbudować model dynamiczny układu przedstawionegona rysunku.Rys. 3. Wahadło z ruchomym punktem zawieszeniaRozwiązanie (metoda Newtona-Eulera):Układ ma dwa stopnie swobody.Współrzędne otoczenia:x�½[x,y]T; współrzędne uogólnione:q�½[x,]T.Obrazy ciał uwolnionych:Rys. 4. Obrazy ciał uwolnionychFsp- siła sprężyny,FA- siła podparcia w łożysku,Fpx,Fpy- siły spowodowane przecięciem.Dla ciała 1 mamy:xm11FspFpx�½.m1y1FAFpym1g�½Dla ciała 2 mamy:xm22Fpx�½.m2y2Fpym2g�½Siła sprężynyFspjest równaFsp�½k ( xu).Ciało 2 może wykonywać ruch obrotowy, więc należy uwzględnić jeszcze równania dla ruchu obrotowego(J2S )Fpxl cosFpyl sin�½.Otrzymaliśmy w ten sposób układ równań:xm11FpxFsp�½mFFm g�½Apy11y1m22Fpx�½xmFm g�½py22y2(J2S )Fpxl cosFpyl sin�½Fsp�½k ( xu )Współrzędne otoczenia (globalne) środków ciężkości ciał 1 i 2 są równe:ciało 1:x xxS1�½ 1 �½  ,y1 ciało 2:x xl sin.xS 2�½ 2 �½ y2 l cosZwiązek kinematycznyxS1�½J1(q)q,xS2�½J2(q)q,z macierzami Jacobiego x1J1(q)�½  xy1 xx1 x2 �½ 1 0,J(q)�½  x yy1 0 022 xx2 �½ 1 l cos,y2 0 l sin ma postaćx1 1 0 xy �½ 0 0 , 1 x2 1 l cos xy �½ 0 l sin . 2 Wykorzystujemy związek kinematyczny do równań ruchu zapisanych we współrzędnych otoczenia: xPonieważx1�½x, więc1�½. PonadtoFpx�½m22iFsp�½k(xu). Stąd I równanie przyjmuje postaćx xm1m22k(xu)�½.xx xAlex2�½xlcos, więc2�½l[cossin]�½lcoslsin2. Mamy więc kolejnox xm1m2(lcoslsin2)k(xu)�½,xxm1m2m2lcosm2lsin2kx�½ku,xx(m1m2)m2lcosm2lsin2kx�½ku.xRozważmy teraz równanie(J2S)FpxlcosFpylsin�½.Do powyższego wstawiamy zależności naFpxiFpy:Fpx�½m22�½m2(lcoslsin2),xxFpy�½m22m2g.y y2�½lsin, więc2�½l(cossin)�½lcos2lsin, a stądyF�½m(lcos2lsin)m g.py22Równanie(J2S)FpxlcosFpylsin�½przyjmuje zatem postać(J2S)(m2(lcoslsin2))lcosx,2lsin)m g)lsin�½(m(lcos22(J2S)(lcosm2lcosm2lcoslcosm2lsin2)x,2lsin)lsinm g�½lsinm(lcos22(J2S)m2l2m2lcosm2glsin�½,x((J2S)m2l2)m2lcosm2glsin�½.xOstatecznie otrzymaliśmy następujący model dynamiczny układu(m1m2)m2lcosm2lsin2kx�½kux.(S)(J2m2l2)m2lcosm2glsin�½x [ Pobierz całość w formacie PDF ]
  • zanotowane.pl
  • doc.pisz.pl
  • pdf.pisz.pl
  • klobuckfatima.xlx.pl